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2018/12/04

円周率の一般化について

お久しぶりです。ぷりんです。
先日 twitter で「円周率が3の円」を投稿しました:


これはユークリッド距離を一般化することによって、「円周」および「円周の長さ」を一般化し、伴って円周率を一般化して得ました。様々な方々からの情報などもあり、円周率の一般化のまとめを作ることができました。まとめ pdf の dropbox へのリンクを以下に貼っておきます。

https://www.dropbox.com/s/0fyravhp0v5j2gt/generalize_pi.pdf?dl=0
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2018/04/06

1m先の鏡に反射する自分にじゃんけんで勝つ方法

ぷりんです。
鏡の中の自分とじゃんけんをします。
ふつうは当然あいこになるでしょう。
しかし!実はある方法を使えばじゃんけんに勝つことができるのです。

[概要]
鏡の中の手を認識するとき、それは自分の手を直接認識しているのではなくて、
鏡で反射されて目まで届いた光を認識しています。
つまり手を出してから鏡に映った手を認識するまでの間には
ごくわずかなタイムラグがあるわけです。
つまり、手を
..., グー, パー, チョキ, グー, パー, チョキ, ...
と超高速で出すと、鏡の中の手はほんの少し遅れて
..., チョキ, グー, パー, チョキ, グー, パー, ...
となり, 永遠に勝つことができるのです!
では実際にどれぐらいのスピードで手を変えればよいのか計算してみます。

[設定]
鏡と手および目の間の距離は1m, ただし目と手はほぼ同じ位置とする。
出した手を変える時間は, 算出されるタイムラグと比べて十分短いとする。
光の速度は 3.0×10^8 m/s とする。

[計算]
手から出た光が鏡に反射して目に届くまでの距離は 2m である。
この距離を光が通るのにかかる時間は
T=2/(3.0×10^8)≒6.7×10^(-9) [s]
これがタイムラグである。
つまり, 1秒間で
1/T=1.5×10^8 [回]
だけ手を動かせばよい。

というわけで、1秒間に1億5000万回
グー, パー, チョキ, ...
の順で手を変えていけばよい
ということが分かりました。

※もし間違えて
グー, チョキ, パー, ...
としてしまうと, 永遠に負けてしまうので注意。
2018/03/12

立方体の断面積の最大値

次の問題を twitter で投稿しました:

問. 1辺が1の立方体を平面で切ったときの断面積の最大値を求めよ.
https://twitter.com/mat_der_D/status/972275843505377280

対称性の高い切り方を考えれば大体目星は付きますが、証明するとなると非常に難しい問題になります。
フォロワーさんより「Ball による 1986 年の論文に証明がある」という情報をいただき、
その論文のメインの部分を日本語の pdf にしました。
以下の dropbox リンクよりダウンロードできます↓
https://www.dropbox.com/s/jhlxbyrxgw8xgjt/cube_cut.pdf?dl=0

追記:
Ball の論文がダウンロードできるページをリンクしておきます。
http://www.ams.org/journals/proc/1986-097-03/S0002-9939-1986-0840631-0/
フリーアクセスなのでどなたでもダウンロード可能だと思われます。
2018/02/08

センター試験満点の偏差値を計算してみた。

お久しぶりです。
今日、以下の記事を発見しました↓

センター試験で全科目満点の受験生 「すごい」と驚く声 - ねとらぼ http://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1802/07/news125.html

どうやらついにセンター試験で満点(900点)が出たそうです。
疑いようもなく想像もできないような高得点です。
この点数から偏差値を計算するとどんな値になるんでしょうか?

ということで計算してみました。
(※簡易の計算なので, 実際の値とは異なります。)

[計算方法]
偏差値は次の式で計算します:
50 + 10×(得点 - 平均点)/標準偏差
今回は得点は900点なので,
50 + 10×(900 - 平均点)/標準偏差
となります。

今年のセンター試験の平均点と標準偏差の中間報告 (クリックで新しいウィンドウが開きます) を元に計算します。
ただし5教科8科目の合計の平均点・標準偏差は公開されていないため, 各科目の分布は独立と仮定し,
(1)平均点: 各科目の平均点の合計
(2)標準偏差: 各科目の分散(=標準偏差の2乗)の合計の平方根
として推定します。

5教科8科目の組み合わせは不明なので, ここでは東大理Iの受験資格がある
①国語, 英語, 数学IA, 数学IIB, 物理, 化学, 世界史
②国語, 英語, 数学IA, 数学IIB, 物理, 化学, 日本史
③国語, 英語, 数学IA, 数学IIB, 物理, 化学, 地理
④国語, 英語, 数学IA, 数学IIB, 物理, 化学, 倫理政経
の4つについて計算します。ただし英語にリスニングは含めません(公式設定)。

[計算結果]
4パターンの科目選択に対応する平均値, 標準偏差, 偏差値を列挙します。

①国語, 英語, 数学IA, 数学IIB, 物理, 化学, 世界史
平均点: 540.87
標準偏差: 73.81
偏差値: 98.65

②国語, 英語, 数学IA, 数学IIB, 物理, 化学, 日本史
平均点: 534.61
標準偏差: 72.95
偏差値: 100.09

③国語, 英語, 数学IA, 数学IIB, 物理, 化学, 地理
平均点: 540.91
標準偏差: 72.23
偏差値: 99.72

④国語, 英語, 数学IA, 数学IIB, 物理, 化学, 倫理政経
平均点: 543.75
標準偏差: 71.86
偏差値: 99.57

[感想]
なんと偏差値が約100というすごい数字が出ました。
特に②の組み合わせでは100を超えました。
実際には科目間の相関や, 5教科8科目受ける人の母集団の偏りなどで若干ズレると思いますが, 目安としても「
hensachi_100.png
」というのはなかなかにパワーワード感があっていいんじゃないでしょうか。
身の回りでも偏差値は80超える人が居たかどうかぐらいなので, いかにセンター満点がとてつもない点数なのかが分かりました。

(偏差値100の画像は https://yurafuca.github.io/5000choyen/ を利用しました。)
2017/12/06

任意の係数に対応するテイラー級数を持つ C^∞ 関数

問. 任意の実数列 {a_n} に対し,
(d^n/dx^n) f (0) = a_n (n = 0, 1, 2, ...)
を満たす C^∞ 関数 f:R→R が存在することを示せ.

という問を解きました。
下のリンクより解答がダウンロードできます。

https://www.dropbox.com/s/9yipcypwvuxcwm6/taylor.pdf?dl=0