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2016/12/12

私はあなたのことがこんなに好き!

twitterで有名なネタツイで、次のようなものがあります。

Aさん「私はBくんのことが大好き!」
Bくん「僕はその100倍好き!」
Aさん「じゃあ私はその1000倍好き!」
俺「y=100x,x=1000yだからx=y=0」

まぁこんな感じで、「結局好きじゃなくなるじゃん」っていうネタです。でも、それだと寂しいですね。そこで次のような問題を考えました。 

問.m を正の整数とし
y≡100x (mod m)
x≡1000y (mod m)
を満たす0以上(m-1)以下の整数 x,y を考える.
このような x,y で x≠0,y≠0 なるものが存在するような m を全て求めよ.

例によって、下の方に解答を書きます。





























解答.
2式から y を消去すると
x≡100000x (mod m)
となるので, M=99999 とおけば
Mx≡0 (mod m)…①
となる.もし M,m が互いに素ならば
x≡0 (mod m)
となるので, x=0 となる.したがって M,m は互いに素ではない.
M,m の最大公約数を g(≧3) とし,
M=Ng
m=ng
とおく. 当然 N,n は互いに素である. これらを①に代入すると
Ngx≡0 (mod ng)
となるので
Nx≡0 (mod n)
となる. N,n は互いに素なので
x≡0 (mod n)
が得られる. 特に x=n(≦m-1) は条件を満たす.このとき
y≡100n (mod m)
である. もし 100n≡0 (mod m) でないことが示されれば, y≠0 となり条件は満たされる. そこで以下そのことを示す.
もし
100n≡0 (mod m)
が成り立つと仮定すると, 両辺を n で割ることで
100≡0 (mod g)
が得られる. したがって 100 は g で割り切れる. よって M+1 は g で割り切れる. 一方 M+1 と M は明らかに互いに素なので, M が g で割り切れることに矛盾する. したがって 100n≡0 (mod m) は成り立たない.

以上から, m の条件は 99999 と互いに素でないことである. 99999=3^2×41×271 と素因数分解されることから, m の条件は「3の倍数または41の倍数または271の倍数」である.□
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